Teorema lui Pitagora

01

Cine a fost Pitagora

Pitagora a fost un filosof și matematician grec care a trăit acum peste 2500 de ani.

Pitagora s-a născut în jurul anului 570 î.Hr. pe insula Samos, în Grecia. Mai târziu s-a mutat în sudul Italiei, la Crotone, și acolo a deschis o școală.

Elevii lui se numeau pitagoreici. Trăiau împreună, aveau reguli stricte și țineau multe lucruri secrete. Studiau matematica, muzica și astronomia.

Pitagoreicii credeau că lumea se explică prin numere. Au observat că două corzi dau un sunet plăcut când lungimile lor sunt în raport simplu, de exemplu 1 la 2.

Istoricii spun că nu avem dovezi sigure că teorema a demonstrat-o chiar el. Numele i-a rămas pentru că școala lui a făcut-o celebră.

Fragment de papirus grecesc cu o figură geometrică din Elementele lui Euclid — Pl. 01 · Papirus cu geometrie greacă

02

Teorema

Teorema se aplică numai în triunghiul dreptunghic, adică în triunghiul care are un unghi de 90 de grade.

Laturile

Cele două laturi care formează unghiul drept se numesc catete. Latura din fața unghiului drept este cea mai lungă și se numește ipotenuză.

Regula

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Scris scurt: a² + b² = c².

Un exemplu

O scară de 5 m stă la 3 m de perete. Înălțimea la care ajunge se află din 25 − 9 = 16, deci scara atinge peretele la 4 m.

03

Demonstrația

Există sute de demonstrații. Aceasta folosește patru triunghiuri identice.

Pătratul mare

Pătratul mare are latura a + b, deci aria lui nu se schimbă. În prima poziție, cele patru triunghiuri lasă în mijloc un pătrat înclinat cu latura c.

Mutarea

În a doua poziție, aceleași triunghiuri lasă două pătrate: unul cu latura a și unul cu latura b. Triunghiurile ocupă același loc, deci și spațiul rămas e același: c² = a² + b².

04

Înainte și după Pitagora

Regula era folosită înaintea lui Pitagora și a rămas importantă până azi.

Cu peste 1000 de ani înainte de Pitagora, babilonienii știau deja regula. Pe tăblița YBC 7289 e desenat un pătrat cu diagonalele. Numerele de pe ea dau lungimea diagonalei foarte exact: 1,41421 în loc de √2.

Tăblița Plimpton 322 are liste de numere despre care se crede că sunt triplete pitagorice.

Elementele lui Euclid, scrise în jurul anului 300 î.Hr., conțin o demonstrație a teoremei. E propoziția 47 din cartea întâi.

Papirusul de la capitolul 01 e un fragment din Elemente, copiat în jurul anului 100 d.Hr.

Numerele întregi care respectă regula se numesc triplete pitagorice. Exemple: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17.

Constructorii folosesc tripletul 3, 4, 5 ca să verifice un unghi drept. Ecranele se măsoară pe diagonală, iar lungimea ei se calculează tot cu teorema.

Tăbliță de lut din Babilon cu un pătrat și diagonalele lui — Pl. 04a · Tăblița YBC 7289

Tăbliță de lut Plimpton 322 cu coloane de numere în scriere cuneiformă — Pl. 04b · Tăblița Plimpton 322

05